Üç Aralıklı Sınır Değer Problemi İçin Çekirdeği Green Fonksiyonu Olan İntegral Operatörü
Abstract views: 12
/ 
PDF downloads: 10
Keywords:
Sturm-Liouville Problemi, İletim Koşulları, Green Fonksiyonu İçin Özfonksiyon AçılımıAbstract
İkinci mertebeden lineer ve tek boyutlu bir diferansiyel operatör
Q=a(x) d^2/(dx^2 ) +b(x) d/dx+c(x)
biçiminde tanımlanır. Burada a(x) fonksiyonu [0,L] aralığında sürekli ve en fazla sonlu sayıda nokta hariç tüm noktalarda sıfırdan farklı bir fonksiyon,b(x) ve c(x) fonksiyonları ise [0,L] aralığında sürekli fonksiyonlardır. Tek boyutta, homojen denklemler Q(y) = 0 biçimindedir ve homojen olmayan denklemler ise
Q(y)= f(x), x E [0,L] (1)
şeklindedir; burada f(x) genel bir fonksiyondur, ayrıca 0 ve L uç noktalarında çözüm tarafından sağlanacak sınır koşulları verilmiştir. Q ifadesi burada genel bir lineer diferansiyel operatörü temsil eder. Genel olarak, a(x),b(x),c(x) ve f(x) özellikle basit fonksiyon olmadığı sürece,y(x) çözümünü bulmak için homojen olmayan denklemi integrallemek mümkün değildir. Q operatörü lineer olduğu için problemin çözümü, genellikle sonsuz sayıda terimi toplayarak elde edilebilir. Şimdi Q lineer operatörünün G(x; e) Green fonksiyonu G(0; e)= G(L; e)= 0 homojen sınır koşullarını sağlayan
QG=S(x-e) (2)
problemin tek çözümü olarak tanımlansın. Green fonksiyonunun önemi, denklem (2) için G(x; E) verildiğinde, (1) deki daha genel Qy(x) = f(x) problemini, integrallenebilir bir f(x) için
y(x)=|_0^L▒G(x; E)f(E)dE (3)
yazarak hemen çözebileceğimiz gerçeğinden gelir. Bunun (2) denkleminin çözümü olduğunu göstermek için
Qy(x)=|_0^L▒〖S(x-e)f(E)dE=f(x)]
eşitliğinin sağlandığı gösterilebilir. Önemli nokta, G nin Q ya bağlı olması, ancak f(x) fonksiyonuna bağlı olmamasıdır. G bilindiğinde, keyfi bir kuvvet terimi için Qy = f denkleminin çözümü yazılabilir. Başka bir deyişle, Qy = f diferansiyel denkleminin çözümünü bulmak için, Q diferansiyel operatörünün tersini bulmak gerekir yani y(x) =Q^(-1) f(x) yazılabilir. Denklem (3), Q diferansiyel operatörünün tersinin, integral çekirdeği olarak Green fonksiyonuyla integral alma anlamına geldiğini gösterir. Genel olarak sismoloji, basit salınımlı sistemler homojen diferansiyel denklemleri daha sonrasında ise homojen olmayan denklemleri araştırmak ile ilgilidir. Bu çalışmada geçiş şartları içeren üç aralıklı bir Sturm-Liouville probleminin Green fonksiyonunu tanımlamak için farklı metot geliştirilmiştir. Daha sonra geçiş şartları içeren Sturm-Liouville probleminin Green fonksiyonunun özfonksiyon açılımı elde edilmiş ve Green fonksiyonu için farklı spektral özellikler incelenmiştir.
Downloads
References
M. A. Al-Gwaiz, Sturm-Liouville theory and its applications. London: Springer London, 2008.
C. D. Ahlbrandt, A. C. Peterson, Discrete Hamiltonian Systems Difference Equations, Continued Fractions,and Riccati Equations, Springer, Boston, M. A,1996.
B. P. Allahverdiev, B. P., H. Tuna (2018). An expansion theorem for $ q $-Sturm-Liouville operators on the wholeline." Turkish Journal of Mathematics 42.3, 1060-1071.
B. P. Allahverdiyev, H. Tuna (2020), One-dimensional conformable fractional Diracsystem, Boletindela Sociedad Matematica Mexicana 26 (1) (2020) 121–146 .
K. Aydemir and O. Sh Mukhtarov (2015). Spectrum and Green’s function of a many-interval Sturm–Liouville problem. Zeitschrift für Naturforschung A 70.5, 301-308.
K. Aydemir and O. Sh Mukhtarov (2017). Class of Sturm–Liouville problems with eigenparameter dependent transmission conditions. Numerical Functional Analysis and Optimization 38. 10, 1260-1275.
E. Bairamov, Y. Aygar and, G. B. Oznur (2020). Scattering Properties of Eigenparameter-Dependent Impulsive Sturm–LiouvilleEquations, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 43(3) (2020) 2769–2781.
A. Cabada, Green’s Functions in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2014.
D. G. Duffy, Green’s Functions with Applications, Chapman and Hall/CRC; 1st edition (May 31, 2001).
G. Sh. Guseinov (2008). An expansion theorem for a Sturm-Liouville operator on semi-unbounded time scales. Adv. Dyn. Syst. Appl 3.1: 147-160.
R. B. Guenther and W. L. Lee. Partial differential equations of mathematical physics and integral equations. Courier Corporation, 1996.
M. A. Hjortso and P. Wolenski,, Linear mathematical models in chemical engineering, 2010.
B. M. Levitan, Inverse Sturm-Liouville problems, Netherland VNU Science Press, 1987.
O. S. Mukhtarov and K. Aydemir (2015). Eigenfunction expansion for Sturm-Liouville problems with transmission conditions at one interior point. Acta Mathematica Scientia, 35(3), 639-649.
O. S. Mukhtarov, M. Yücel and K. Aydemir (2020). Treatment a new approximation method and its justification for Sturm–Liouville problems." Complexity 2020.1 8019460.
L. Sbail`o, F. No´e (2017), An efficient multi-scale Green’s function reaction dynamics scheme, The Journal of chemical physics 147(18) 184106.
M. Shahriari (2014), Inverse Sturm-Liouville problems with transmission and spectral parameter boundary conditions. Computational Methods for Differential Equations 2.3, 123-139, 2014.
] I. Stakgold, M. Holst, Green’s Functions and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, 2011.
J. D. Pryce, Numerical solution of Sturm-Liouville problems. Oxford University Press, 1993.
N. N. Voitovich, B. Z. Katsenelbaum, and A. N. Sivov, Generalized Method of Eigen-vibration in the Theory of Diffraction." Nakua, Mockow , 1997.
M. Yücel and F. Muhtarov (2017) "Parameterized Differential Transform Method and Its Application to Boundary Value Transmission Problems." Yüzüncü Yıl Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 28.2 (2023): 412-423.
M. Yücel, O. Sh Mukhtarov and K. Aydemir (2023). Computation of eigenfunctions of nonlinear boundary-value-transmission problems by developing some approximate techniques." Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática .
D. Xie, Y. Liu, C. Bai (2009). Green’s function and positive solutions of a singular n−th order three-point boundary value problem on time scales, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2009(38) (2009) 1–14.
